まずはブルックリンスタイルのテイストを損なわないアイテムをそろえる所からです。
バルコニーなのですのこを使ったりしますが、全体占める面積が多い為、100均等で白木のすのこを買ってしますともう台無しです。100均が悪いわけではありませんが、テイスト的にはウォールナットか、ニス塗りをしてある木材のすのこを使用するのがベターでしょう。
もちろん余力あれば自分で塗っても良いですが、DIYといえども集合住宅で塗装はスペース的にもご近所的にも厳しいので、完成品を調達しましょう。ブルックリンスタイルは流行でもあるので、ニトリやイケアで調達することは簡単です。費用は多少かかるかもしれませんが、イケアのフロアパネルを敷き詰めれば、とりあえず床面もOKでしょう。壁面もフロアパネル&針金等の固定器具で形にできると思います。床面と壁面さえ間違えなければ、後は小物で自分好みで仕上げていくだけです。
面積の多い床面と壁面のテイストを間違わないこと、手軽なのは床面で、すのこやパネルを敷くだけである程度完成することを忘れずに、気負わずDIYを進めていってください。